Math on Debimate

平均（算術平均）

Sun, 24 May 2026 00:00:00 +0000

平均（算術平均, mean）は、データの「中心」を表す代表値の中で最も基本的な指標である。全ての値を足して個数で割るというシンプルな計算式ながら、確率論の期待値・最小二乗推定・大数の法則・中心極限定理の定義に直接現れる。後から学ぶ分散・標準偏差・相関係数も内部で平均を使っており、後続の統計量を読むときの基準点として最初に押さえる量となる。

中央値（メジアン）

Sun, 24 May 2026 00:00:00 +0000

中央値（median）は、データを小さい順に並べたときに「真ん中に来る値」を表す代表値である。平均が「値の重心」を見るのに対し、中央値は「順位の中心」を見るので、外れ値の影響を受けにくいのが大きな特徴となる。

定義はデータ数 n で場合分けする。

n が奇数: ちょうど真ん中の値（(n+1)/2 番目）
n が偶数: 真ん中 2 つの平均（n/2 番目と n/2+1 番目の平均）

中央値は「四分位点の Q2（50% 点）」と同じものを指す。順位ベースの代表値という意味で、ロバスト統計（外れ値や歪んだ分布に強い手法の総称）の入口に位置する指標と言える。

四分位点（分位点）

Sun, 24 May 2026 00:00:00 +0000

四分位点（quartile）は、データを小さい順に並べて「4 等分する位置」の値を取り出した代表値である。中央値を「2 等分する位置」と捉えると、四分位点はその拡張になっている。

分散（バリアンス）

Sun, 24 May 2026 00:00:00 +0000

分散（variance）は、データの散らばり具合を「平均からの差の二乗の平均」として定量化する指標である。代表値が「分布の中心」を表すなら、分散は「分布の広がり」を表す代表的な量となる。中心と広がりがあれば、分布の最も基本的な姿（正規分布なら完全に決まる）が記述できる。

標準偏差

Sun, 24 May 2026 00:00:00 +0000

標準偏差（standard deviation, stddev）は、分散の平方根として定義される散らばりの指標である。分散と数学的には等価だが、「単位が元データと同じ」という違いが実用上は決定的に重要となる。例えば身長（cm）のデータなら、分散は cm² という解釈しにくい単位になる一方、標準偏差は cm のまま扱える。

歪度（skewness）と log1p 変換

Sun, 24 May 2026 00:00:00 +0000

歪度（skewness、わいど）は、分布の「左右の非対称さ」を 1 つの数で表す指標である。平均が分布の中心、分散と標準偏差が広がりを表すのに対して、歪度は「形のバランス」を表す。

カーネル密度推定（KDE）

Sun, 24 May 2026 00:00:00 +0000

カーネル密度推定（Kernel Density Estimation, KDE）は、ヒストグラムの代わりに「滑らかな分布曲線」を推定するノンパラメトリックな手法である。各データ点に「その点の近くほど確率が高い」という小さな分布（カーネル）を置き、全点のカーネルを足し合わせて全体の形を作る。曲線の面積が 1 になるように正規化されており、出力は確率密度関数として読める。

相関係数

Sun, 24 May 2026 00:00:00 +0000

相関係数は、2 つの変数の関係の強さを 1 つの数で要約する指標である。目的やデータ特性に応じて、線形関係を測る Pearson 相関係数、順位の単調関係を見る Spearman / Kendall 相関係数を使い分ける。

期待値（expectation / expected value）