相関係数は、2 つの変数の関係の強さを 1 つの数で要約する指標である。目的やデータ特性に応じて、線形関係を測る Pearson 相関係数、順位の単調関係を見る Spearman / Kendall 相関係数を使い分ける。

何を測るかと何を測らないか、を最初に押さえておくと運用上の落とし穴を避けられる。相関係数が高い = 良い予測ができる、ではない。相関係数が高い = 因果関係がある、でもない。標準化 や PCA、特徴量選択、EDA（探索的データ分析）の起点として広く使われるが、解釈にはいくつかの注意点がある。

共分散と相関係数

相関係数の土台となる量が共分散（covariance）である。共分散は 分散 を 2 変数に拡張したものとして定義される。

  • 定義: cov(X, Y) = E[(X - mu_x)(Y - mu_y)]
  • mu_x と mu_y はそれぞれ X と Y の平均
  • 自己共分散: cov(X, X) = Var(X)（1 変数の分散と一致）

共分散は「2 変数が同じ方向に動くか・逆方向に動くか」を表す量で、正なら同方向、負なら逆方向、0 なら無相関の傾向を示す。ただし共分散には決定的な弱点がある: 単位とスケールに依存する。X がメートル、Y がキログラムなら、共分散の単位は「メートル × キログラム」になり、絶対値の大きさを他のペアと比較しても意味が無い。

そこで共分散を両者の標準偏差 で割って正規化したものが相関係数である。

  • Pearson 相関: r = cov(X, Y) / (sigma_x * sigma_y)

正規化により r は -1 から +1 の範囲に収まり、単位やスケールに依存しない無次元量になる。これが「相関係数を共分散の代わりに使う」最大の理由と言える。

Pearson 相関係数の意味

Pearson 相関係数（Pearson correlation, r）は、2 変数の 線形 な関係の強さを表す。

  • r = +1: 完全な正の線形関係（散布図が右上がりの直線）
  • r = -1: 完全な負の線形関係（散布図が右下がりの直線）
  • r = 0: 線形関係が無い（散布図がランダム、または非線形に並んでいる）

r の絶対値の目安として、0.7 以上で強い相関、0.4〜0.7 で中程度、0.4 未満で弱い相関 と慣習的に呼ばれることが多いが、サンプル数や目的によって判断は変わる。サンプル数が大きい（n > 1000）と統計的有意な相関でも実用上は弱いことがあり、逆にサンプルが少ない（n < 30）と高相関でも偶然の可能性がある。

前提・注意

  • 線形関係しか捉えられない（非線形関係は r が小さくても、ゼロでも存在しうる）
  • 外れ値に引っ張られやすい（数件の極端な値で相関の符号すら変わる）
  • 相関は因果関係ではない（第三の要因による疑似相関の可能性）
  • 連続値変数を前提とする（カテゴリ変数の場合は別の指標を使う）

相関係数の落とし穴

相関係数は誤読されやすい指標で、特に次の 3 つは判断軸として頭に入れておきたい。

1. 相関係数 ≠ 予測精度

r = 0.8 の特徴量があったとしても、その単独で目的変数を高精度に予測できるとは限らない。線形回帰での決定係数 R² = r² = 0.64 程度で、分散の 64% は説明できるが残り 36% は別要因。さらに、外れ値が支配的だと「数値上は高相関でも本質的な予測力は無い」現象も起きる。判断軸: 相関は関係の強さで、予測精度はモデルと特徴量全体の選び方で決まる別の話。

2. 相関係数 ≠ 因果関係

「アイスクリームの売上と溺死事故件数には正の相関がある」「靴のサイズと読解力には正の相関がある」のような有名な例がある通り、相関は因果を示さない。共通の第三因子（前者は気温、後者は年齢）が両方を動かしている場合、二変数の相関は高くなるが、片方を増減させても他方は動かない。判断軸: 因果を主張するなら介入実験、操作変数法、DAG、傾向スコアマッチング などの因果推論の枠組みが必要。

3. 相関 0 ≠ 関係が無い

Pearson 相関は線形性しか測らないので、r = 0 でも強い非線形関係があり得る。

  • y = x² のようなパラボラ関係: r ≈ 0 だが完全に決定論的
  • y = sin(x) のような周期関係: r ≈ 0 だが完全に決定論的
  • 円形のクラスタや U 字型の関係も同様

非線形を含めた関係を検出したい場合は、Spearman / Kendall（単調性）、相互情報量（mutual information、非線形を含む一般的な依存性）、距離相関（distance correlation）などを併用する。判断軸: Pearson が 0 でも、散布図を必ず描いて非線形構造の有無を目視する。

利点

  • 解釈が直感的（符号と大きさで関係の方向と強さが分かる）
  • 計算が軽く、相関行列で多変量の関係を一度に俯瞰できる
  • 単位やスケールに依存しない無次元量
  • 線形回帰の R² と直接対応（R² = r²）するので、線形モデルの説明力の目安にもなる

欠点

  • 非線形関係を見逃しやすい（落とし穴 3）
  • 外れ値の影響が大きい（少数の極端な値で相関が変わる）
  • 線形性以外の依存構造は捉えられない
  • 因果関係を示すことはできない（落とし穴 2）
  • カテゴリ変数や順序尺度には直接使えない（Spearman / Kendall や Cramér’s V などで代替）

利点

  • 解釈が直感的（符号と大きさ）
  • 相関行列で多変量の関係を俯瞰できる

欠点

  • 非線形な関係を見逃しやすい
  • 外れ値の影響が大きい

Spearman / Kendall の相関

Pearson が「値そのものの線形関係」を見るのに対し、Spearman や Kendall は「順位（ランク）の関係」を見る相関係数。

  • Spearman 相関: 各値を順位に変換して Pearson を計算する。単調関係（一直線ではないが、増える/減るが一貫する関係）に強い。
  • Kendall 相関: データの順序の一致/不一致（順序対）に基づく相関。外れ値に比較的強く、サンプルが小さい場合に安定しやすい。

使い分けの目安は次の通り。

  • 線形関係が前提なら Pearson
  • 単調関係が前提、外れ値が多いなら Spearman
  • 順位の一致を厳密に見たい、サンプルが小さいなら Kendall

Python での実例

Pearson

線形関係の例。正相関／相関なし／負相関の3パターンを並べて比較する。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(0)
n = 200

x1 = rng.normal(size=n)
y1 = 0.8 * x1 + rng.normal(scale=0.4, size=n)

x2 = rng.normal(size=n)
y2 = rng.normal(size=n)

x3 = rng.normal(size=n)
y3 = -0.8 * x3 + rng.normal(scale=0.4, size=n)

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(9, 3), sharex=True, sharey=True)
axes[0].scatter(x1, y1, s=10, alpha=0.7)
axes[0].set_title("Positive")
axes[1].scatter(x2, y2, s=10, alpha=0.7)
axes[1].set_title("None")
axes[2].scatter(x3, y3, s=10, alpha=0.7)
axes[2].set_title("Negative")
fig.suptitle("Pearson Correlation Examples")
plt.tight_layout()
plt.show()

出力:

correlation_scatter

Spearman / Kendall

単調関係（非線形）の例。Pearson だと弱く見えるが、順位の関係は強いケースを想定している。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(0)
n = 200
x = rng.normal(size=n)
y = x ** 3 + rng.normal(scale=1.0, size=n)

plt.scatter(x, y, s=10, alpha=0.7)
plt.title("Monotonic (nonlinear) scatter")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.tight_layout()
plt.show()

出力:

correlation_spearman_kendall

数学での使いどころ

  • 共分散行列の要約として相関行列を使う（多くは Pearson）
  • 変数間の冗長性や多重共線性の確認（線形関係なら Pearson が基本）
  • データの構造理解（単調関係が疑われる場合は Spearman / Kendall が有効）

機械学習での使いどころ

  • 特徴量間の相関が高い場合の特徴選択（線形関係なら Pearson、単調関係なら Spearman / Kendall を見る）
  • PCA や線形モデルの前処理としての確認（相関構造を掴み、標準化や次元削減の必要性を判断する）
  • EDA での仮説づくり（外れ値や歪みが強い場合は順位相関のほうが安定）

適さないケース

  • 曲線的な関係が本質なデータ（例: 二次関数）
  • 外れ値が多いデータ
  • 因果推論を目的とする分析